(x,y) nach (sin x)e^y-3xy/Taylor-Polynom im Nullpunkt/Bis dritter Ordnung/Beispiel

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und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung dazu im Nullpunkt berechnen. Das Taylor-Polynom der Ordnung ist das konstante Nullpolynom, da ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind

mit den Werten  und . Daher ist die lineare Approximation zu , also das Taylor-Polynom der Ordnung . Für das Taylor-Polynom der Ordnung berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind

und

Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen sind , sodass das zweite Taylor-Polynom (also die quadratische Approximation) gleich

ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind

und

Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen sind , sodass (wegen und ) das dritte Taylor-Polynom gleich

ist.