3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

anwenden. Es ist

$M^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

und

$M^3=0.$

Somit ist

$V_1=\mathrm{kern}M=⟨e_1⟩,V_2=\mathrm{kern}{M}^2=⟨e_1,e_2⟩\text{ und }{V}_3=K^3.$

Es ist

$V_3=V_2\oplus ⟨e_3⟩,$

sodass wir

$U_3=⟨e_3⟩$

wählen können. Es ist

$M{e}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)\in V_2.$

Somit ist

$V_2=V_1\oplus U_2$

mit

$U_2=⟨\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)⟩.$

Schließlich ist

$M^2{e}_3=M\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Daher ist

$\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

eine Basis wie gewünscht.

Die inverse Matrix zu

$B=\left(\begin{array}{ccc}10& 3& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

ist

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{10}& -\frac{3}{50}& 0\\ 0& \frac{1}{5}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

und es ist

$\begin{array}{cc}{B}^{-1}MB& =\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{10}& -\frac{3}{50}& 0\\ 0& \frac{1}{5}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}10& 3& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{10}& -\frac{3}{50}& 0\\ 0& \frac{1}{5}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 10& 3\\ 0& 0& 5\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$