3x3Matrix/370/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 7\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

anwenden. Es ist

$M^2=0.$

Somit ist

$V_1=\mathrm{kern}M=⟨e_1,7e_2-3e_3⟩\text{ und }{V}_2=K^3.$

Es ist

$V_2=V_1\oplus ⟨e_3⟩,$

sodass wir

$U_2=⟨e_3⟩$

wählen können. Es ist

$M{e}_3=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in V_1.$

Somit ist

$V_1=⟨\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right),7e_2-3e_3⟩=U_1.$

Daher ist

$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

beschrieben.