4-Zahlen-Matrix/Charakteristisches Polynom/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}$

2. Es ist ${}0$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist

   ${}X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.$

3. Die Nullstelle ${}0$ haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor ${}X^{3}+2X^{2}-2$. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da ${}0$ keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.

Zur gelösten Aufgabe