A1-Singularität/Endlicher Körper/Punktanzahl/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Anzahl der Monoidhomomorphismen

$\varphi \colon (M,+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q},\cdot ,1).$

Ein solcher Homomorphismus ist durch ein Tupel

${}(x,y,z)=(\varphi (e),\varphi (f),\varphi (g))\in {\mathbb {F} }_{q}^{3}\,$

gegeben, das die Bedingung

${}xy=z^{2}\,$

erfüllt. Bei ${}y=0$ ist ${}z^{2}=0$ und damit auch ${}z=0$, und für ${}x$ kann man ein beliebiges Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ einsetzen. Dies ergibt ${}q$ Möglichkeiten. Bei ${}y\neq 0$, wofür es ${}q-1$ Möglichkeiten gibt, ist

${}x={\frac {z^{2}}{y}}\,,$

d.h. ${}x$ ist durch die Belegungen von ${}y$ und ${}z$ eindeutig bestimmt. Dafür gibt es ${}(q-1)q$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${}q+(q-1)q=q^{2}\,$

Punkte im ${}{\mathbb {F} }_{q}$-Spektrum von ${}M$.

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