Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N.$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}F$ und ${}G$ injektiv sind, so ist auch ${}G\circ F$ injektiv.
2. Wenn ${}F$ und ${}G$ surjektiv sind, so ist auch ${}G\circ F$ surjektiv.
3. Wenn ${}F$ und ${}G$ bijektiv sind, so ist auch ${}G\circ F$ bijektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen