Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

1. Seien ${}x,x'\in L$ mit

   ${}G(F(x))=G(F(x'))\,$

   gegeben. Aufgrund der Injektivität von ${}G$ folgt

   ${}F(x)=F(x')\,$

   und aufgrund der Injektivität von ${}F$ folgt

   ${}x=x'\,,$

   was die Injektivität von ${}G\circ F$ bedeutet.

2. Sei ${}z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von ${}G$ gibt es ein ${}y\in M$ mit

   ${}G(y)=z\,.$

   Aufgrund der Surjektivität von ${}F$ gibt es ein ${}x\in L$ mit

   ${}F(x)=y\,.$

   Insgesamt ist

   ${}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$

   es gibt also ein Urbild von ${}z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.

3. Folgt aus (1) und (2).

Zur bewiesenen Aussage