Abbildung/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Diese Begriffe sind fundamental!

Die Frage, ob eine Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung

${}F(x)=y\,$

(in den beiden Variablen ${}x$ und ${}y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ mindestens eine Lösung

${}x\in L\,$

für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ maximal eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ genau eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen ${}x$ und ${}x'$ aus der Voraussetzung ${}F(x)=F(x')$ erschließt, dass ${}x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus ${}x\neq x'$ auf ${}F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen ${}2$ und ${}-2$ beide auf ${}4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn ${}x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir

${}x>y\geq 0\,.$

Doch dann ist auch ${}x^{2}>y^{2}$ und insbesondere ${}x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv und surjektiv.

Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Die Umkehrabbildung wird mit ${}F^{-1}$ bezeichnet.