Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist bijektiv und damit auch injektiv und surjektiv. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an, wir definieren

$g\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,m\longmapsto {\begin{cases}2\vert {m}\vert ,{\text{ falls }}m\leq 0{\text{ ist}}\,,\\2m-1,{\text{ falls }}m>0{\text{ ist}}\,.\end{cases}}$

Für  ${}n\in \mathbb {N}$  gerade ist

${}g(f(n))=g{\left(-{\frac {n}{2}}\right)}=n\,$

und für  ${}n\in \mathbb {N}$  ungerade ist

${}g(f(n))=g{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}=2{\frac {n+1}{2}}-1=n\,.$

Umgekehrt ist für  ${}m\in \mathbb {Z}$  bei  ${}m\leq 0$ 

${}f(g(m))=f(2\vert {m}\vert )=f(-2m)=-{\left(-m\right)}=m\,$

und bei  ${}m>0$ 

${}f(g(m))=f(2m-1)={\frac {2m-1+1}{2}}=m\,.$

Zur gelösten Aufgabe