Abbildung/Verknüpfung/Viererdiagramm/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}\varphi$ injektiv, es ist zu zeigen, dass auch ${}\psi$ injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ${}g$ ist

   ${}\psi =h\circ \varphi \circ g^{-1}\,.$

   Somit ist ${}\psi$ als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm ${}g$ und ${}h$ durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.

2. Es sei ${}\varphi$ surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch ${}\psi$ surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ${}g$ ist

   ${}\psi =h\circ \varphi \circ g^{-1}\,.$

   Somit ist ${}\psi$ als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm ${}g$ und ${}h$ durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.

Zur gelösten Aufgabe