Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Beweis

Da der Funktionswert ${}f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar ${}x\sim x$. Wenn ${}x\sim y$ ist, so bedeutet das ${}f(x)=f(y)$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt ${}f(y)=f(x)$, was wiederum ${}y\sim x$ bedeutet. Wenn ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits ${}f(x)=f(y)$ und andererseits ${}f(y)=f(z)$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt ${}f(x)=f(z)$, was ${}x\sim z$ bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage