Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Beweis

Da der Funktionswert ${}f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar ${}x\sim x$. Wenn ${}x\sim y$ ist, so bedeutet das  ${}f(x)=f(y)$  und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt  ${}f(y)=f(x)$,  was wiederum ${}y\sim x$ bedeutet. Wenn ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits  ${}f(x)=f(y)$  und andererseits  ${}f(y)=f(z)$.  Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt  ${}f(x)=f(z)$,  was ${}x\sim z$ bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage