Abbildungen/Zählen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Bei einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ heißt ${}L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und ${}M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element ${}x\in L$ heißt das Element

${}F(x)\in M\,$

der Wert von ${}F$ an der Stelle ${}x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument. Zwei Abbildungen ${}F\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und ${}G\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle ${}x\in L_{1}=L_{2}$ die Gleichheit ${}F(x)=G(x)$ in ${}M_{1}=M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt.

Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen

${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\,$

und

${}M=\{a,b,c,d,e,f,g\}\,$

ist beispielsweise

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}F(x)$	${}c$	${}a$	${}a$	${}b$	${}e$	${}b$	${}e$	${}d$

eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert ${}F(3)$ als ${}a$ ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung der Menge ${}M$, da ${}a$ und ${}e$ mehrfach im Bild auftauchen (mehrfach gezählt werden) und ${}f$ überhaupt nicht im Bild auftaucht (übersehen wird).

Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das (versuchsweise) Abzählen einer Menge ${}M$ eine Abbildung

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M,\,i\longmapsto \varphi (i).$

Jeder natürlichen Zahl ${}i$ wird also ein eindeutiges Element der Menge ${}M$ zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff nicht ausgeschlossen. Eine Abbildung ${}F$ kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen ${}i\neq j$ den gleichen Wert, also

${}F(i)=F(j)\,$

haben und sie muss nicht jedes Element der Menge ${}M$ erfassen (treffen). Es kann also Elemente ${}m\in M$ mit der Eigenschaft geben, dass für jedes ${}i$ aus dem Definitionsbereich stets

${}F(i)\neq m\,$

gilt.

Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$

• injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.
• surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

  ${}F(x)=y\,$

  gibt.
• bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Weder injektiv noch surjektiv.

Injektiv und surjektiv.

Nicht injektiv, aber surjektiv.

Injektiv, nicht surjektiv.

Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,x\longmapsto x',$

auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist.

Die Frage, ob eine Abbildung ${}F$ diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung

${}F(x)=y\,$

(in den beiden Variablen ${}x$ und ${}y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ mindestens eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ maximal eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ genau eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen ${}x$ und ${}x'$ aus der Voraussetzung ${}F(x)=F(x')$ erschließt, dass ${}x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus ${}x\neq x'$ auf ${}F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

Definition

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl ${}n$ dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

und

$\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$

bijektive Abbildungen sind, dass dann

${}n=k\,$

ist. Diese Zahl heißt die Anzahl (oder die Kardinalität) der Menge. Sie wird mit ${}{\#\left(M\right)}$ oder mit ${}\mid \!M\!\mid$ bezeichnet. Die bijektive Abbildung

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

kann man eine Nummerierung der Menge ${}M$ nennen. Eine Menge besitzt also ${}n$ Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von ${}1$ bis ${}n$ durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen ${}M$ und ${}N$, für die es eine Bijektion

$M\longrightarrow N$

gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ für irgendein ${}n$ gibt, heißt unendlich.

Bemerkung  

Unter Modellierung versteht man in der Mathematik den Vorgang, realweltliche Phänomene mathematisch zu erfassen, zu verstehen und zu beeinflussen. Das Zählen ist ein allgegenwärtiger Vorgang, mit dem die Anzahl von Mengen bestimmt werden, um deren Größenordnung einordnen zu können, um sicherzustellen, dass alle Schüler da sind, um den Preis der Gesamtmenge zu bestimmen, u.s.w. Dieser alltägliche Vorgang wird mit dem Begriff einer bijektiven Abbildung erfasst bzw. modelliert. Als Gewinn dieses Modellierungsvorgangs kann man nennen: Fehlerquellen erkennen, durch Rechnungen Zählvorgänge abkürzen, die prinzipielle Korrektheit der Zählidee begründen.

Mathematisch modelliert werden physikalische Prozesse, Wetterphänomene, Finanzaktionen, etc. Die Prozesse können dabei beliebig komplex sein und die adäquaten mathematischen Mittel sind dann in der Regel entsprechend komplex. In diesen komplexeren Situationen liegt ein wichtiger Gewinn darin, Aussagen über den Verlauf der Prozesse in der Zukunft mathematisch vorherzusagen.

Eine typische, in der Schule auftretende Form der Modellierung ist die Textaufgabe. Aus einem mehr oder weniger langen Text muss der mathematische Gehalt herausgelesen und für eine Frage die Antwort gefunden werden. Allerdings ist hier typischerweise klar, mit welchen mathematischen Methoden an die Aufgabe herangegangen werden soll.