Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe/Lösung

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(1). Es gibt vier Abbildungen der zweielementigen Menge in sich selbst, nämlich die Identität , die Vertauschung , die durch festgelegt ist, und die beiden konstanten Abbildungen, die wir mit bzw. bezeichnen. Die Verknüpfungstabelle, bei der im Kreuzungspunkt von der -Zeile mit der -Spalte die Verknüpfung (also zuerst angewendet) steht, sieht folgendermaßen aus:


(2). Die Identität ist das neutrale Element des Monoids, jedes Untermonoid muss dieses Element enthalten.

Das kleinste Untermonoid ist , das ist eine kommutative Gruppe.

ist ebenfalls eine kommutative Gruppe, da zu sich selbst invers ist.

ist ein kommutatives Untermonoid, wegen und , aber keine Gruppe, da es kein inverses Element zu gibt.

ist ebenfalls ein kommutatives Untermonoid und keine Gruppe (gleicher Grund).

ist ein Untermonoid, da es unter der Operation abgeschlossen ist. Es ist keine Gruppe, da und nicht invertierbar sind. Es ist nicht kommutativ, da und ist.

Wenn man zu noch ein Element dazu tut, so ist wegen auch das andere drin. Daher gibt es nur noch das volle Untermonoid , das weder kommutativ noch eine Gruppe ist.