Abelsches Lemma

Das abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen. Es ist nach Niels Henrik Abel benannt.

Abelsches Lemma

Sei $K_{P}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}{\mbox{ konvergiert}}\}\subseteq \mathbb {C}$ die Konvergenzmenge der Potenzreihe $P$ mit:

P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}

,

dann gelten folgenden Aussagen:

Für ein gegebenes Element $z_{1}\in K_{P}$ aus der Konvergenzmenge von $P$ erhält man die absolute Konvergenz von $P(z)$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z-z_{o}|<|z_{1}-z_{o}|$
Für ein gegebenes Element $z_{2}\notin K_{P}$ für das $P$ also divergiert, divergieren auch alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z_{2}-z_{o}|<|z-z_{o}|$

Aufgabe für Lernende

Zeigen Sie die Aussage des Abelschen Lemmas unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine konvergente Reihe(betragsmäßig) beschränkt Koeffizienten besitzt. Folgern Sie dann unter der Ausnutzung des Majorantenkriteriums und einer geometrischen Reihe als Majorante, dass $P$ absolut konvergiert.
Begründen Sie, warum die Konvergenzmenge $K_{P}$ eine offenen Kreisscheibe $D_{r}(z_{o})\subseteq \left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|z_{0}-z\right|<r\right\}$ enthält (wobei $r>0$ maximal gewählt wird) und <math<>P</math> , divergieren auch alle $z\in \mathbb {C}$ mit $r<|z-z_{o}|$ divergiert.
Bestimmen Sie bei der folgenden Potenzreihe die Konvergenzradius $r>0$ und geben auf dem Rand $\partial D_{r}(0)$ der Konvergenzmenge zwei Punkte $z_{1},z_{2}\in \partial D_{r}(0)$ , von den $P(z_{1})$ konvergiert und $P(z_{2})$ divergiert.

P(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\cdot z^{k}

,

Nutzen Sie für die Auswahl der Punkte

z_{1},z_{2}\in \partial D_{r}(0)

Ihr Wissen aus der Analysis zur harmonischen Reihe.

(Funktionentheorie: Zerlegungssatz) Analysieren Sie den Zerlegungssatz in der Funktionentheorie und erläutern Sie, wie das Abelsche Lemma in die Erweiterung des Definitionsbereiche eingeht auf einem Kreisring und die Verwendung des Identitätssatzes eingeht!

Konsequenz

Wenn man berücksichtigt, dass die Reihe stets an solchen Punkten $z\in \mathbb {C}$ divergieren muss, an denen die Folge ihrer Summanden unbeschränkt ist (nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen), dann folgt aus dem Lemma, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.

Siehe auch

Quelle

Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, Seite 98.

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