Abelsches Lemma

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Das abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen. Es ist nach Niels Henrik Abel benannt.

Abelsches Lemma[Bearbeiten]

Sei die Konvergenzmenge der Potenzreihe mit:

,

dann gelten folgenden Aussagen:

  • Für ein gegebenes Element aus der Konvergenzmenge von erhält man die absolute Konvergenz von für alle  mit
  • Für ein gegebenes Element für das also divergiert, divergieren auch alle  mit

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

  • Zeigen Sie die Aussage des Abelschen Lemmas unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine konvergente Reihe(betragsmäßig) beschränkt Koeffizienten besitzt. Folgern Sie dann unter der Ausnutzung des Majorantenkriteriums und einer geometrischen Reihe als Majorante, dass absolut konvergiert.
  • Begründen Sie, warum die Konvergenzmenge eine offenen Kreisscheibe enthält (wobei maximal gewählt wird) und <math<>P</math> , divergieren auch alle  mit divergiert.
  • Bestimmen Sie bei der folgenden Potenzreihe die Konvergenzradius und geben auf dem Rand der Konvergenzmenge zwei Punkte , von den konvergiert und divergiert.
,
Nutzen Sie für die Auswahl der Punkte Ihr Wissen aus der Analysis zur harmonischen Reihe.

Konsequenz[Bearbeiten]

Wenn man berücksichtigt, dass die Reihe stets an solchen Punkten divergieren muss, an denen die Folge ihrer Summanden unbeschränkt ist (nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen), dann folgt aus dem Lemma, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

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