Kurs:Funktionentheorie

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion

f(z)={\frac {1}{z}}

Inhalte

In dem Kurs Funktionentheorie^[1]^[2] werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem Wikibuch-Link versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. $(\ast )$ -Kapitel sind optional.

Funktionentheorie - Teil 1

Cauchy-Integralsatz CIS

Cauchy-Integralformel CIF

Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben - (Foliensatz) ,
Lokale Entwicklung in Potenzreihen - (Foliensatz)
Identitätssatz - (Foliensatz)
- Differentialgleichung für Exponentialfunktion - Anwendung Identitätssatz
- Verteilungsfunktion der Normalverteilung - Anwendung Identitätssatz
- Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige - (Foliensatz)
Satz von Liouville - (Foliensatz)
Fundamentalsatz der Algebra - (Foliensatz)
- Komplexe Nullstellen reeller Polynome

Funktionentheorie - Teil 2

In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt.

Stammfunktionen und messbare Mengen

Satz über lokale Stammfunktionen - (Foliensatz)
Differenzsatz für Stammfunktionen - (Foliensatz)
Definition Flächenintegrale - (Foliensatz)
Doppelintegral über Real- und Imaginärteil - (Foliensatz)
Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale - (Foliensatz)

Rechteckintegrale

Dreiecksintegrale

Nach dem Lemma von Goursat ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind.

Integrale über Polygone

In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt.

Flächenintegrale über Vierecke - (Foliensatz)
Eckenreduktionssatz für Polygone - (Foliensatz)
alternierender Randweg - (Foliensatz)
Flächenintegrale über Vielecke - (Foliensatz)

Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen

Funktionentheorie - Teil 3

In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der Laurent-Reihe verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen $(z-z_{o})^{-n}$ mit $n\in \mathbb {N}$ entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert.

Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen

Kette von Wegen - (Foliensatz)
Umlaufzahl - (Foliensatz)
Zyklus - (Foliensatz) ,
Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen, (Foliensatz)
- b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen - (Foliensatz)
- Beispielrechnung mit Laurentreihen
kreisförmige Konvergenzbereiche - (Foliensatz) - Abelsches Lemma

Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen

Die Aussagen des CIS und CIF für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf nullhomologe Zyklen verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert.

Satz von der Gebietstreue

Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete.

Satz von der Gebietstreue - (Foliensatz) (Open Mapping Theorem)
Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue

Singularität und Residuen

Singularitäten, (Foliensatz)
Riemannscher Hebbarkeitssatz - (Foliensatz)
Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität - (Foliensatz)
Residuum - (Foliensatz)
Entwicklung in Laurentreihen,
isolierte Singularitäten,
Zerlegungssatz,
Satz von Casorati-Weierstraß - (Foliensatz)
Residuensatz - (Foliensatz)
Reelle Integrale mit Residuensatz,
Null- und Polstellen zählendes Integral (Foliensatz)
Satz von Rouché (Foliensatz)
meromorphe Funktionen - (Foliensatz)
holomorphe Funktionen als Vektorfelder - (Foliensatz)

Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen

Riemannscher Abbildungssatz - (Foliensatz)
- Lemma von Schwarz
- $\mathrm {Aut} (\mathbb {D} )$
analytische und harmonische Funktionen
Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder)
Verallgemeinerte analytische Funktionen

Übungen

Softwarenutzung

Ferner wird in Anlehnung an den Open Community Approach folgende Open Source verwendet:

Maxima CAS - ComputerAlgebraSystem
komplexe Zahlen in Maxima CAS

Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten

Mit PanDocElectron kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann.

Handschriftliche Notitzen

Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in Videokonferenzen kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben
- eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder
- die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen.
- Mit der OpenSource-Software Xournal^[3] können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen (Download GitHub) und
- für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton einsetzen.

Siehe auch

Kurse

Literatur

↑ Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.
↑ H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf
↑ Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20)

[1] Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.

[2] H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf

[3] Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20)

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