Ableitung/(g(f(x)))^2f(g(x))/f ist x^2-1 und g ist x+2/Aufgabe/Lösung

a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist

${}h'(x)=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\,.$

b) Wir berechnen zuerst ${}h(x)$. Es ist

${}{\begin{aligned}h(x)&=(x^{2}+1)^{2}\cdot ((x+2)^{2}-1)\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)(x^{2}+4x+3)\\&=x^{6}+4x^{5}+5x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+4x+3.\end{aligned}}$

Die Ableitung ist daher

${}h'(x)=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4\,.$

Andererseits ist

$f'(x)=2x{\text{ und }}g'(x)=1$

und daher nach Teil a)

${}{\begin{aligned}h'(x)&=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)2(x+2)+2(x^{2}+1)(2x)(x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{3}+x+2x^{4}+4x^{2}+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+x+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3)\\&=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe