Ableitung/K/Quadrieren/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto z^{2}.$

Der Differenzenquotient zu ${}a$ und ${}a+h$ ist

${}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$

Der Limes davon für ${}h$ gegen ${}0$ ist ${}2a$. Die Ableitung ist daher ${}f'(a)=2a$.