Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition

Grenzwert einer Abbildung

Sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt ${}b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist ${}f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$