Ableitung/Linear/Beispiel

Es sei $C^0(ℝ,ℝ)$ der Raum der stetigen Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ und $C^1(ℝ,ℝ)$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung

$D:C^1(ℝ,ℝ)⟶C^0(ℝ,ℝ),f⟼f^{\prime },$

die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja

$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }$

für  $a,b\in ℝ$  und eine weitere Funktion  $g\in C^1(ℝ,ℝ)$  bewiesen.