Ableitung/Linear/Beispiel

Es sei ${}C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung

$D\colon C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f',$

die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja

${}(af+bg)'=af'+bg'\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R}$ und eine weitere Funktion ${}g\in C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ bewiesen.