Ableitung/Quotientenversion/Aufgabe/Lösung

1. Unter Verwendung von Rechenregeln für Exponentialfunktionen ist

   ${}{\left({\frac {a^{x+h}}{a^{x}}}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h}a^{-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{h}\right)}^{\frac {1}{h}}=a\,.$

   Da dies unabhängig von ${}h$ ist, ist auch der Limes für ${}h\rightarrow 0$ gleich ${}a$.

2. Wir betrachten den natürlichen Logarithmus des funktionalen Ausdrucks, also

   ${}\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {1}{h}}\ln {\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}={\frac {1}{h}}{\left(\ln f(x+h)-\ln f(x)\right)}\,.$

   Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion ${}\ln f$ im Punkt ${}x$. Da ${}f$ differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung

   ${}{\left(\ln f(x)\right)}^{'}={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,.$

   Somit ist

   ${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,,$

   und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus

   ${}{\begin{aligned}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)&=\exp \left(\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\exp \left(\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}.\end{aligned}}$

3. Für

   ${}f(x)=a^{x}\,$

   ist die Ableitung gleich ${}{\left(\ln \left(a\right)\right)}a^{x}$. Somit ist

   ${}{\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {{\left(\ln a\right)}a^{x}}{a^{x}}}=\ln a\,,$

   die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich ${}a$.

Zur gelösten Aufgabe