Ableitung/Quotientenversion/Aufgabe

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}$

zu einem Punkt ${}x\in I$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${}f(x)=a^{x}\,$

   mit einem ${}a\in \mathbb {R} _{+}$.

2. Es sei ${}f$ in ${}x\in I$ differenzierbar. Zeige

   ${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen