Ableitung/R/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel

Es seien ${}s,c\in \mathbb {R}$ und sei

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto sx+c,$

eine affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ betrachtet man

${}{\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {sx-sa}{x-a}}=s\,.$

Dies ist konstant gleich ${}s$, sodass der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich ${}s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.