Ableitung/R/Quadrieren/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^2.$

Der Differenzenquotient zu $a$ und $a+h$ ist

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h.$

Der Limes davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die Ableitung von $f$ in $a$ ist daher  $f^{\prime }(a)=2a$.