Abschätzung/R/Potenzen und Brüche/1/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}x^{-s}={\frac {1}{x^{s}}}\leq {\frac {1}{2^{s}}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,$

ist

${}1-x^{-s}>0\,.$

Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit ${}1-x^{-s}$ multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus

${}(1+x^{-s})(1-x^{-s})=1-(x^{-s})^{2}<1\,.$

Für die rechte Abschätzung ist

${}1\leq (1+2x^{-s})(1-x^{-s})=1+x^{-s}-2x^{-s}x^{-s}=1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,$

nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung ${}x^{-s}\leq {\frac {1}{2}}$ ergibt sich ${}-2x^{-s}\geq -1$ bzw. ${}1-2x^{-s}\geq 0$, was

${}1\leq 1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,$

bestätigt.

Zur gelösten Aufgabe