Achsenkreuz/3/Glattheit/Beispiel

Zu

$K^{3}\longrightarrow K^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (yz,xz,xy),$

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsen, also das eindimensionale Achsenkreuz im Raum. Die Jacobimatrix ist

${\begin{pmatrix}0&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{pmatrix}}.$

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. In einem Punkt mit ${}x=y=0$ und ${}z\neq 0$ ist die Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&z&0\\z&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

und ihr Rang ist ${}2=3-1$, also liegt ein glatter Punkt vor.