Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Glatter Punkt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  $F_1,\dots ,F_s\in K[X_1,\dots ,X_n]$  Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

$Y=V(F_1,\dots ,F_s)\subseteq {𝔸}_K^n.$

Es sei  $P\in Y$  ein Punkt von $Y$ mit der Eigenschaft, dass $Y$ im Punkt $P$ die Dimension $d$ besitze. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left(\frac{\partial F_i}{\partial X_j}\right)}_{i,j}$

im Punkt $P$ mindestens $n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.