Achsenkreuz/C/Milnorfaser/Beispiel

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Not-star-shaped.svg

Wir betrachten die Abbildung

die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu

und zwar über die Abbildung

mit der Umkehrabbildung . Die Milnorfaser, also der Schnitt von mit dem reellen abgeschlossen Ball , der ja durch

gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu

Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl , dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl , dass sie zu einem Annulus (Kreisring) mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren.