Achsenkreuz/C/Milnorfaser/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$

die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche ${}f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt ${}a\neq 0$ ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu

${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,,$

und zwar über die Abbildung

$f^{-1}(a)={\left\{(x,y)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid xy=a\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(x,y)\longmapsto x,$

mit der Umkehrabbildung ${}x\mapsto \left(x,\,{\frac {a}{x}}\right)$. Die Milnorfaser, also der Schnitt von ${}f^{-1}(a)$ mit dem reellen abgeschlossen Ball ${}B\left(0,\delta \right)$, der ja durch

${}\vert {x}\vert ^{2}+\vert {y}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\,$

gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu

${\left\{x\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\mid \vert {x}\vert ^{2}+\vert {\frac {a}{x}}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\right\}}.$

Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl ${}\vert {x}\vert$, dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl ${}x$, dass sie zu einem Annulus (Kreisring) mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren.