Achter Kreisteilungskörper/Doppelwurzel/Minimalpolynome/Aufgabe/Lösung

1. Da ${}\zeta$ eine primitive achte komplexe Einheitswurzel ist, ist

   ${}\zeta _{8}^{4}=-1\,.$

   Somit wird ${}X^{4}+1$ von ${}\zeta _{8}$ annulliert, und da der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}4$ ist, muss ${}X^{4}+1$ das Minimalpoynom sein.

2. Es ist

   ${}\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }\,$

   und da ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq L$ den Grad ${}2$ besitzt, ist ${}X^{2}-{\mathrm {i} }$ das Minimalpolynom von ${}\zeta _{8}$ über ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.

3. Da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subseteq L$ den Grad ${}2$ besitzt, muss das Minimalpolynom den Grad ${}2$ besitzen. Wegen ${}\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }$ ist

   ${}\zeta _{8}^{2}-{\sqrt {2}}\zeta _{8}={\mathrm {i} }-{\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}=-1\,$

   und somit ist ${}X^{2}+{\sqrt {2}}X+1$ das Minimalpolynom von ${}\zeta _{8}$ über ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.

4. Das Minimalpolynom über ${}L$ selbst ist ${}X-\zeta _{8}$.

Zur gelösten Aufgabe