Achter Kreisteilungskörper/Doppelwurzel/Minimalpolynome/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit  ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$.  Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$, ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.

1.  ${}M=\mathbb {Q}$. 
2.  ${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. 
3.  ${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$. 
4.  ${}M=L$. 

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