Achter Kreisteilungskörper/Galoisaktion/Beispiel

Wir betrachten den achten Kreisteilungskörper $K_8$. Die Einheitengruppe $(\mathbb{Z}/(8){)}^{\times }$ ist $\{1,3,5,7\}$, wobei $3,5,7$ die Ordnung $2$ besitzen. Die nach Fakt zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen ${\phi }_3,{\phi }_5,{\phi }_7$, die auf den Einheitswurzeln ($\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel) folgendermaßen wirken.

${\phi }_3:\zeta ⟷{\zeta }^3,{\zeta }^2=\mathrm{i}⟷{\zeta }^6=-\mathrm{i},{\zeta }^5⟷{\zeta }^7,$

${\phi }_5:\zeta ⟷{\zeta }^5,\mathrm{i}={\zeta }^2⟷{\zeta }^{10}=\mathrm{i},{\zeta }^3⟷{\zeta }^7,-\mathrm{i}⟷-\mathrm{i},$

und

${\phi }_7:\zeta ⟷{\zeta }^7,\mathrm{i}={\zeta }^2⟷{\zeta }^{14}=-\mathrm{i},{\zeta }^3⟷{\zeta }^5.$