Achter Kreisteilungskörper/Galoisaktion/Beispiel

Wir betrachten den achten Kreisteilungskörper ${}K_{8}$. Die Einheitengruppe ${}(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ ist ${}\{1,3,5,7\}$, wobei ${}3,5,7$ die Ordnung ${}2$ besitzen. Die nach Fakt zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen ${}\varphi _{3},\,\varphi _{5},\,\varphi _{7}$, die auf den Einheitswurzeln (${}\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel) folgendermaßen wirken.

$\varphi _{3}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{3},\,\zeta ^{2}={\mathrm {i} }\longleftrightarrow \zeta ^{6}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{5}\longleftrightarrow \zeta ^{7},$

$\varphi _{5}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{5},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{10}={\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{7},\,-{\mathrm {i} }\longleftrightarrow -{\mathrm {i} },$

und

$\varphi _{7}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{7},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{14}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{5}.$