Die Abbildung ist nicht injektiv. Um dies zu zeigen, weisen wir nach, dass es verschiedene Zahlen mit
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gibt. Für ein solches Paar ist dann
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Die Bedingung bedeutet
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und ist wegen der Injektivität der Exponentialfunktion äquivalent zu
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was wiederum auf
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führt. Die Abbildung
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ist stetig und hat in
eine Nullstelle, ist für
positiv und konvergiert für gegen . Somit nimmt die Funktion in einem Punkt ihr Maximum an
(übrigens ist ).
Für jedes gibt es dann
nach dem Zwischenwertsatz
ein mit
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und ein mit
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Da es unendlich viele
gibt, kann man auch
sichern.