Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl $n$, also

$+$	$1$	$2$	$3$	$\dots$	$n-1$	$n$
$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$\dots$	$1+n-1$	$1+n$
$2$	$2+1$	$2+2$	$2+3$	$\dots$	$2+n-1$	$2+n$
$3$	$3+1$	$3+2$	$3+3$	$\dots$	$3+n-1$	$3+n$
$\dots$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$n-1$	$n-1+1$	$n-1+2$	$n-1+3$	$\dots$	$n-1+n-1$	$n-1+n$
$n$	$n+1$	$n+2$	$n+3$	$\dots$	$n+n-1$	$n+n$

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich $(n+1)n^2$ ist, also

$\sum _{1\le i\le n,1\le j\le n}(i+j)=(n+1)n^2.$

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