Additive Gleichung/Eine Variable/Lösbar/Beispiel

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Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen und betrachten die Gleichung

mit der Unbestimmten . Gesucht ist also nach derjenigen Zahl, die zu addiert die Zahl ergibt. Diese Gleichung besitzt die einzige Lösung

Dies sind zwei Aussagen! Einerseits wird behauptet, dass eine Lösung ist und andererseits, dass es außer der keine weitere Lösung gibt. Das Erste kann man einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen, es ist ja in der Tat

Dass es keine weitere Lösung gibt, ergibt sich einfach aus der Abziehregel. Wenn eine weitere Lösung der Gleichung ist, so liegt die Gleichungskette

vor, die Abziehregel sichert dann

Dieses Argument kann man auch dann durchführen, wenn man die eine Lösung noch gar nicht kennt: Aus der Gleichung

folgt eben

Betrachten wir allgemein eine Gleichung (eine additive Gleichung oder Additionsgleichung) der Form

mit fixierten natürlichen Zahlen . Zwar sind hier ebenso wie Buchstaben, die für natürliche Zahlen stehen, doch ist die Funktion jeweils eine andere. Die Zahlen stellen jeweils fixierte natürliche Zahlen dar, die somit die Gleichung (als Parameter) festlegen, für die dann die zu bestimmende Unbekannte ist. Wenn also vorliegt, so denke man nicht an die Menge aller Dreiertupel derart, dass die Gleichheit vorliegt (was ebenfalls eine sinnvolle mathematische Aufgabe ist), sondern an eine Gleichung in , die durch die Zahlen als Parameter bestimmt ist.

Das Lösungsverhalten über einer Gleichung der Form

hängt vom Größenverhältnis zwischen und ab. Bei gibt es keine Lösung, da wegen

die linke Seite stets (für jedes ) größer als die rechte Seite ist.

Bei hingegen gibt es wie im zuerst genannten Beispiel genau eine Lösung. Die Voraussetzung

bedeutet ja, dass man von aus durch sukzessives Nachfolgerbilden zu gelangt. Diese Definition ist nach Fakt äquivalent dazu, dass es überhaupt ein mit gibt. Die eindeutige Lösung ist dann gerade diejenige Zahl, die angibt, wie oft man den Nachfolger von nehmen muss, um zu zu gelangen. Also ist die Differenz

die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung

bei .