Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring $K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\mathrm{\Delta }:K[X]⟶K[X]{\otimes }_{K}K[X]\cong K[X,Y],X⟼X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]⟶K,X⟼0,$

festgelegt und das Koinverse ist durch

$K[X]⟶K[X],X⟼-X,$

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.