Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring ${}K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

festgelegt und das Koinverse ist durch

$K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.