Es sei 
ein
kommutativer Ring. Auf dem
Polynomring ![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
kann man folgendermaßen eine
Hopf-Struktur erklären. Die
Komultiplikation wird durch
-
![{\displaystyle \Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf921a1c44aa5d83ff9b8b7d28a11d9fe9084958)
erklärt. Die
Koeinheit wird durch
-
![{\displaystyle K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c3eb6af02c27e32851ccdd8b98828731b06b73)
festgelegt und das
Koinverse
ist durch
-
![{\displaystyle K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c578cfc2a16b604d4ef3cc96c06623aac50a49a7)
definiert. Nach
Aufgabe
ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.
