Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei  ${}n=1$  folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad ${}d$ maximal ${}d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom, das an allen Punkten von  ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$  verschwindet. Wir schreiben ${}F$ als

${}F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,$

mit Polynomen  ${}P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$.  Wir müssen zeigen, dass  ${}F=0$  ist, was zu  ${}P_{i}=0$  für alle  ${}i=0,\ldots ,d$  äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass ${}P_{d}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ mit  ${}P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0$.  Damit ist ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X_{n}$ vom Grad ${}d$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.

Zur bewiesenen Aussage