Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir , ohne eine solche Zerlegung. kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung . Da und echte Teilmengen von sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von , was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

Da irreduzibel ist, muss für ein sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument für ein , woraus und folgt. Ebenso findet sich etc. in der Zerlegung rechts wieder, so dass die Zerlegung eindeutig ist.