Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}V$ und ${}W$ die Vektorräume zu ${}E$ bzw. zu ${}F$. Es sei zunächst ${}\psi$ affin-linear mit linearem Anteil

$\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$

und eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt ${}Q\in E$)

${}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}$

Es sei nun umgekehrt die Abbildung ${}\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

${}\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$

für ${}v\in V$, mit einem ${}P\in E$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ${}P$ ist. Es ist

$(P+v)-(Q+v)+Q$

eine baryzentrische Kombination für den Punkt ${}P$, siehe Aufgabe. Daher ist in ${}F$

${}\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$

Somit ist in ${}V$

${}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$

und daher

${}{\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$

Es bleibt zu zeigen, dass ${}\varphi$ linear ist. Für ${}u={\overrightarrow {PQ}}$ und ${}v={\overrightarrow {PR}}$ ist

${}{\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$

Also ist

${}\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$

Zur gelösten Aufgabe