Affine Basen/Baryzentrische Koordinaten/Umrechnung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R\in E$ ein fixierter Punkt. Die baryzentrische Beschreibung der ${}P_{i}$ bezüglich der ${}Q_{j}$ liefert

{}P_{i}=R+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\,

und damit insbesondere

{}{\overrightarrow {RP_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\,.

Somit ist

{}{\begin{aligned}P&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\right)}\\&=R+\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\right)}{\overrightarrow {RQ_{j}}}.\end{aligned}}

Die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ bezüglich der ${}Q_{j}$ ist also

{}P=\sum c_{j}Q_{j}\,

mit

{}c_{j}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\,.

Wir müssen noch zeigen, dass diese Koordinaten wirklich die baryzentrische Bedingung erfüllen. Dies ergibt sich aber aus

{}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\\&=1\end{aligned}}