Affine Fermat-Kubik/Anzahl über endlichen Körpern/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}X^{3}+Y^{3}=1\,$

gegebene ebene algebraische Kurve.

1. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$.
2. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.
3. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper ${}\mathbb {Z} /(13)$.
4. Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit der Eigenschaft, dass ${}q-1$ und ${}3$ teilerfremd sind.

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