Wir schreiben die Gleichung als
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Dabei kann man sich für
einen beliebigen Wert aus dem Körper vorgeben und muss sich fragen, ob und wie viele Lösungen es dann für
gibt. Da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch mit
Elementen ist, ist das Potenzieren zum Exponenten
bijektiv, wenn
und
teilerfremd sind, und hat einen Kern mit drei Elementen, falls
und
nicht teilerfremd sind. Im letzteren Fall gibt es
Einheiten, die dritte Potenzen sind.
- Siehe (4).
- Es ist
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Somit gibt es bei
drei Lösungen für
,
bei
gibt es eine Lösung für
und bei
gibt es keine Lösung für
.
Insgesamt gibt es also sechs Lösungen für diese Gleichung über
.
- Bei
gibt es nur vier Einheiten, die dritte Potenzen sind, da das Potenzieren zum Exponenten drei einen Kern mit drei Elementen besitzt. Diese vier dritten Potenzen sind
(neben der
)
gleich
-
Die einzige Möglichkeit, mit diesen Potenzen die Summe
zu erhalten, ist
.
Da
drei dritte Einheitswurzeln besitzt, gibt es sechs Lösungen für diese Gleichung über
.
- Nach Voraussetzung sind
und
teilerfremd, das bedeutet, dass das dritte Potenzieren bijektiv ist.
Es gibt also zu jedem
ein eindeutig bestimmtes
, das die Gleichung
erfüllt. Somit gibt es in diesem Fall
Lösungen.