Affine Fermat-Kubik/Anzahl über endlichen Körpern/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

${}Y^{3}=1-X^{3}\,.$

Dabei kann man sich für ${}X$ einen beliebigen Wert aus dem Körper vorgeben und muss sich fragen, ob und wie viele Lösungen es dann für ${}Y$ gibt. Da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch mit ${}q-1$ Elementen ist, ist das Potenzieren zum Exponenten ${}3$ bijektiv, wenn ${}3$ und ${}q-1$ teilerfremd sind, und hat einen Kern mit drei Elementen, falls ${}3$ und ${}q-1$ nicht teilerfremd sind. Im letzteren Fall gibt es ${}{\frac {q-1}{3}}$ Einheiten, die dritte Potenzen sind.

1. Siehe (4).
2. Es ist

   ${}X$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
   ${}X^{3}$	${}0$	${}1$	${}1$	${}6$	${}1$	${}6$	${}6$

   Somit gibt es bei ${}X=0$ drei Lösungen für ${}Y^{3}=1-X^{3}$, bei ${}X=1,2,4$ gibt es eine Lösung für ${}Y^{3}=1-X^{3}$ und bei ${}X=3,5,6$ gibt es keine Lösung für ${}Y^{3}=1-X^{3}$. Insgesamt gibt es also sechs Lösungen für diese Gleichung über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

3. Bei ${}\mathbb {Z} /(13)$ gibt es nur vier Einheiten, die dritte Potenzen sind, da das Potenzieren zum Exponenten drei einen Kern mit drei Elementen besitzt. Diese vier dritten Potenzen sind (neben der ${}0$) gleich

   $1,\,8=2^{3},\,12=4^{3},\,5=8^{3}.$

   Die einzige Möglichkeit, mit diesen Potenzen die Summe ${}1$ zu erhalten, ist ${}0+1=1$. Da ${}1$ drei dritte Einheitswurzeln besitzt, gibt es sechs Lösungen für diese Gleichung über ${}\mathbb {Z} /(13)$.

4. Nach Voraussetzung sind ${}q-1$ und ${}3$ teilerfremd, das bedeutet, dass das dritte Potenzieren bijektiv ist. Es gibt also zu jedem ${}X\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein eindeutig bestimmtes ${}Y$, das die Gleichung ${}Y^{3}=1-X^{3}$ erfüllt. Somit gibt es in diesem Fall ${}q$ Lösungen.

Zur gelösten Aufgabe