Affine Geraden/Punktiert/Verklebung/Verdoppelte Gerade/Beispiel

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also ${}U={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[S]\right)}$ und ${}V={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$ mit den offenen Teilmengen ${}U'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(S)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[S,S^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}V'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(T)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[T,T^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wir betrachten den Isomorphismus

$\varphi \colon U'\longrightarrow V',$

der durch ${}S\mapsto T$ festgelegt ist und wir wollen ${}U$ und ${}V$ im Sinne von Fakt miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde ${}X$ ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch ${}(S)$ bzw. ${}(T)$ gegebenen Punkte auf ${}X$ nennen wir ${}P$ bzw. ${}Q$. Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)

${\begin{matrix}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U',{\mathcal {O}}_{X})=K[S,S^{-1}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei wir die Identifizierung ${}S=T$ vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt

${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]\,$

und die globalen Funktionen haben in ${}P$ und in ${}Q$ den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme ${}{\mathcal {O}}_{X,P}={\mathcal {O}}_{X,Q}=K[S]_{(S)}$ übereinstimmen (alles spielt sich im Funktionenkörper ${}K(S)$ ab).