Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

${}\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$

Für die Umkehrung sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit ${}\varphi (F)=0$. Wir schreiben

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$

(mit ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist

${}\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$

Da dieses Polynom gleich ${}0$ ist müssen alle Koeffizienten ${}0$ sein, d.h. zu jedem ${}k$ gehört auch

${}F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in ${}F$ nur Monome ${}X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert ${}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus ${}F$, sagen wir ${}X^{\nu }$ (mit ${}a_{\nu }\neq 0$). Es muss in ${}F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir ${}X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf ${}0$ abgebildet wird. Wir schreiben

${}F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$

Im Summand rechts kommt ${}X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In ${}X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

${}X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$

mit disjunkten ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ und mit ${}\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von ${}F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.

Zur bewiesenen Aussage