Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir haben ${}K[M]=K[T^{e_{1}},\ldots ,T^{e_{n}}]\subseteq K[T]$. Da die Exponenten teilerfremd sind, erzeugen sie die Eins und das bedeutet (multiplikativ betrachtet), dass es ein Monom in diesen Potenzen (auch mit negativen Exponenten) gibt, das gleich ${}T$ ist. D.h. ${}T$ ist ein Quotient von Elementen aus ${}K[M]$ und daher sind die Quotientenkörper gleich. Andererseits erfüllt ${}T$ eine Ganzheitsgleichung über ${}K[M]$, beispielsweise (richtig gelesen) ${}T^{e_{1}}-T^{e_{1}}=0$. Da ${}K[T]$ normal ist (sogar faktoriell, da es ja ein Hauptidealbereich ist), muss es sich um die Normalisierung handeln.

Zur bewiesenen Aussage