Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst reduzieren wir auf den Fall, wo ${}\gamma \neq 0$ ist. Bei ${}\gamma =0$ und ${}\alpha \neq 0$ kann man ${}X$ und ${}Y$ vertauschen. Bei ${}\alpha =\gamma =0$ muss ${}\beta \neq 0$ sein. Dann kann man durch ${}X\mapsto X+Y,\,Y\mapsto Y$ erreichen, dass der Koeffizient von ${}Y^{2}$ nicht null ist. Es sei also im Folgenden ${}\gamma \neq 0$.

Wir schreiben die Gleichung als

$\gamma Y^{2}+(\beta X+\epsilon )Y+{\tilde {H}}(X),$

wobei ${}{\tilde {H}}$ ein Polynom in ${}X$ vom Grad ${}\leq 2$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man das als

$\gamma \left(Y+{\frac {\beta X+\epsilon }{2\gamma }}\right)^{2}+{\tilde {H}}(X)-{\frac {(\beta X+\epsilon )^{2}}{4\gamma }}$

schreiben. In den neuen Variablen ${}Y+(\beta X+\epsilon )/2\gamma$ und ${}X$ schreibt sich die Gleichung als

$G=\gamma Y^{2}+H(X)\,{\text{ mit }}H(X)=aX^{2}+bX+c.$

Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen besitzt ${}\gamma$ eine Quadratwurzel, sodass man durch ${}Y\mapsto Y/{\sqrt {\gamma }}$ den Koeffizient zu ${}1$ machen kann. Der andere Zusatz ist klar.

Zur bewiesenen Aussage