Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Es sei

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

eine Quadrik.

Dann gibt es eine Variablentransformation der affinen Ebene derart, dass das transformierte Polynom in den neuen Variablen die Form

$G=\gamma Y^{2}+H(X)\,{\text{ mit }}H(X)=aX^{2}+bX+c$

hat.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man (durch eine Variablentransformation) ${}\gamma =1$ erreichen.

Wenn man sich für das erzeugte Ideal bzw. das Nullstellengebilde interessiert, so kann man (durch Division) ebenfalls ${}\gamma =1$ erreichen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen