Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ . Es sei

F = α X^{2} + β X Y + γ Y^{2} + δ X + ϵ Y + η

eine Quadrik.

Dann gibt es eine Variablentransformation der affinen Ebene derart, dass das transformierte Polynom in den neuen Variablen die Form

$G = γ Y^{2} + H (X) mit H (X) = a X^{2} + b X + c$

mit $γ \neq 0$ hat. Bei $a \neq 0$ kann man $b = 0$ erreichen.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man (durch eine Variablentransformation) $γ = 1$ erreichen.

Wenn man sich für das erzeugte Ideal bzw. das Nullstellengebilde interessiert, so kann man (durch Division) ebenfalls $γ = 1$ erreichen.