Affine Varietäten/Affine Gerade/Zariski-Topologie/Beispiel

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Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch mit beschrieben. Da ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar , , ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt mit der Koordinate die einzige Nullstelle des linearen Polynoms , also ist Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten mit den Koordinaten ist die Nullstellenmenge des Polynoms . Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.