Körper (ausführlich)
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
-
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.