Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Das Ideal $𝔞$ besteht aus allen Linearkombinationen der $F_j$ und enthält insbesondere alle $F_j$. Daher ist die Inklusion  $V(F_j,j\in J)\supseteq V(𝔞)$  klar. Für die umgekehrte Inklusion sei  $P\in V(F_j,j\in J)$  und sei  $H\in 𝔞$.  Dann ist  $H=\sum _{i=1}^k{A}_i{F}_{j_i}$  (mit $A_i\in K[X_1,\dots ,X_n]$) und somit ist

$H(P)=\sum _{i=1}^k{A}_i(P)F_{j_i}(P)=0,$

also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt $P$. Daher ist  $P\in V(𝔞)$. 

Zur bewiesenen Aussage