Affine Varietäten/Affiner Raum/Verschwindungsideal zu Punkt/Beispiel

Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann ist das Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(P)$ gleich dem Ideal ${}(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$. Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome ${}X_{i}-a_{i}$ im Punkt ${}P$ verschwinden (wegen $(X_{i}-a_{i})(P)=a_{i}-a_{i}=0$). Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Es sei umgekehrt ${}F$ ein Polynom mit ${}F(P)=0$. Wir schreiben ${}F$ in den „neuen Variablen“

${\tilde {X}}_{1}=X_{1}-a_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n}=X_{n}-a_{n}\,,$

indem wir ${}X_{i}$ durch ${}X_{i}-a_{i}+a_{i}$ ersetzen. In den neuen Variablen sei ${}F=\sum _{\nu }b_{\nu }{\tilde {X}}^{\nu }$. Dieses Polynom besteht aus der Konstanten ${}b_{0}$, in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir

${}F=F_{1}{\tilde {X}}_{1}+\cdots +F_{n}{\tilde {X}}_{n}+c\,$

mit gewissen Polynomen ${}F_{i}$ schreiben. Daher ist ${}F(P)=c=0$ und ${}F\in ({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n})$.