Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Nullstellengebilde ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal in ${}R$ und ${}F\in R$ ein Element, das auf ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.

Dann gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in ${}R$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen