Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$  eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Nullstellengebilde  ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.  Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal in ${}R$ und  ${}F\in R$  ein Element, das auf  ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V$  verschwindet.

Dann gibt es ein  ${}r\in \mathbb {N}$  mit  ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$  in ${}R$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen